node), split, n, deviance, yval
* denotes terminal node
1) root 333 215300000 4207
2) species: Adelie,Chinstrap 214 40430000 3715
4) sex: female 107 8493000 3419 *
5) sex: male 107 13240000 4010 *
3) species: Gentoo 119 29670000 5092
6) sex: female 58 4519000 4680 *
7) sex: male 61 5884000 5485 *Decision trees and Ensemble Methods
DDD: Elements of Statistical Machine Learning & Politics of Data
Ayush Patel
At Azim Premji University, Bhopal
19 Feb, 2026
Hello
I am Ayush.
I am a researcher working at the intersection of data, development and economics.
I am a RStudio (Posit) certified tidyverse Instructor.
I am a Researcher at Oxford Poverty and Human development Initiative (OPHI), at the University of Oxford.
Did you come prepared?
You have installed R. If not see this link.
You have installed RStudio/Positron/VScode or any other IDE. It is recommended that you work through an IDE
You have the libraries
{tree} {gbm} {randomForest} {BART}installed
Learning Goals
- What are decision trees?
- When to use them?
- How do these work?
- Application and interpretation.
- Improving decision trees using ensemble methods.
Decision Trees
Supervised and non-parametric
Can be used for Classification and Regression
A predictor space is cut into segments and mean response of training observations is used as the estimate of response of test observations.
Simple, easy to interpret but not the best for prediction accuracy on its own
Prediction accuracy can be improved by ensemble methods
Intuition - How it works
Can you Identify regions with similar salary range?
Intuition - How it works
Can you Identify regions with similar salary range?
Intuition - How it works
Can you Identify regions with similar salary range?
Intuition - How it works
Can you Identify regions with similar salary range?
Model output - Predictor Space
from ISLR
Model output - Tree
from ISLR
Region representation
\(R1 = \left\{X|Years<4.5\right\}\)
\(R2 = \left\{X|Years>=4.5,Hits<117.5\right\}\)
\(R2 = \left\{X|Years>=4.5,Hits>=117.5\right\}\)
Tree terminology
from ISLR
How should we carry out segmenting of predictor space?
Segmenting - Theory
Predictor Space of \(p\) variables needs to be segmented into \(J\) different regions.
In theory, the regions can be of any shape, however high-dimensional rectangles are chosen in practice for computational ease and interpretability
For every observation in region \(R_j\), we make the same prediction. Mean or mode of the training observations in region \(R_j\)
Minimize: \(\sum_{j=1}^{J}{\sum_{i \in R_j}{(y_i - \hat{y}_{R_j})^2}}\)
But
Not easy to consider all possible cutpoints for all possible predictors with all possible sequences
We use high-dimensional rectangles instead of any shape for ease of interpretation.
So, use Recursive Binary splitting
top-down
greedy
top-down
We brgin at the point where all observations are part of the same region. Hence the name top-down
Greedy
Best split at a particular step. We do not care about the future. A predictor \(p\) and a cutpoint \(s\) is chosen based on which split will lead to the lowest RSS.
This is carried out recursively, over and over again.
Formally
We aim to minimize the following at every step
\(\sum_{i:x_i \in R_1 (j,s)}{(y_i - \hat{y}_{R_1})^2} + \sum_{i:x_i \in R_2 (j,s)}{(y_i - \hat{y}_{R_2})^2}\)
Fitting Regresison Trees
from {palmerpenguins} website
Fitting Regresison Trees
Fitting Regression Trees
Fitting Regression Trees
1 2 3 5 6 7 8 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
4 3 3 3 4 3 4 3 4 4 3 3 4 3 4 3 4 3 4 4
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
3 4 3 3 4 3 4 3 4 3 4 4 3 3 4 3 4 3 4 3
46 47 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
4 3 4 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166
4 3 3 4 3 4 6 7 6 7 7 6 6 7 6 7 6 7 6 7
167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 180 181 182 183 184 185 186 187
6 7 6 7 6 7 7 6 6 7 6 7 7 6 7 7 6 6 7 6
188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207
7 6 7 6 7 6 7 6 7 7 6 6 7 6 7 6 7 6 7 6
208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 220 221 222 223 224 225 226 227 228
7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 7 6 7 6 7 7 6 6 7
229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248
6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7
249 250 251 252 253 254 255 256 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 270
7 6 6 7 6 7 6 7 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 7
271 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291
6 6 7 6 7 3 4 4 3 4 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3
292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311
4 4 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4
312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331
3 3 4 3 4 4 3 4 3 3 4 3 4 4 3 3 4 3 4 3
332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344
4 3 4 4 3 4 3 3 4 3 4 4 3 Fitting Regression Trees
Regression tree:
tree(formula = body_mass_g ~ ., data = penguins)
Variables actually used in tree construction:
[1] "species" "sex"
Number of terminal nodes: 4
Residual mean deviance: 97680 = 32140000 / 329
Distribution of residuals:
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
-760.30 -219.20 15.16 0.00 220.30 815.20 Fitting Regression Trees
Fitting Regression Trees
# A tibble: 333 × 9
body_mass_g pred_mass species island bill_length_mm bill_depth_mm
<int> <dbl> <fct> <fct> <dbl> <dbl>
1 3750 4010. Adelie Torgersen 39.1 18.7
2 3800 3419. Adelie Torgersen 39.5 17.4
3 3250 3419. Adelie Torgersen 40.3 18
4 3450 3419. Adelie Torgersen 36.7 19.3
5 3650 4010. Adelie Torgersen 39.3 20.6
6 3625 3419. Adelie Torgersen 38.9 17.8
7 4675 4010. Adelie Torgersen 39.2 19.6
8 3200 3419. Adelie Torgersen 41.1 17.6
9 3800 4010. Adelie Torgersen 38.6 21.2
10 4400 4010. Adelie Torgersen 34.6 21.1
# ℹ 323 more rows
# ℹ 3 more variables: flipper_length_mm <int>, sex <fct>, year <int>Do it yourself
Run the linear model using the penguins data:
\(bodymass = species + sex\)
compare the RSS for the linear model with the RSS of the decision tree.
Cant just keep splitting
some terminal nodes have very few observations
node), split, n, deviance, yval
* denotes terminal node
1) root 263 53320000 535.9
2) CHits < 450 117 5931000 227.9
4) AtBat < 147 5 2940000 709.5 *
5) AtBat > 147 112 1779000 206.4
10) CRBI < 114.5 74 302100 141.8 *
11) CRBI > 114.5 38 567200 332.1 *
3) CHits > 450 146 27390000 782.8
6) Walks < 61 104 9470000 649.6
12) AtBat < 395.5 53 2859000 510.0 *
13) AtBat > 395.5 51 4504000 794.7
26) PutOuts < 771 45 2358000 746.4 *
27) PutOuts > 771 6 1255000 1157.0 *
7) Walks > 61 42 11500000 1113.0
14) RBI < 73.5 22 3148000 885.3
28) PutOuts < 239.5 7 1739000 1156.0 *
29) PutOuts > 239.5 15 656300 758.9 *
15) RBI > 73.5 20 5967000 1363.0
30) Years < 13.5 14 3767000 1521.0
60) CAtBat < 3814.5 8 529600 1141.0 *
61) CAtBat > 3814.5 6 541500 2028.0 *
31) Years > 13.5 6 1026000 992.5 *Cant just keep splitting
So, when to stop
The recursive splitting approach is likely to overfit
Leads to a complex tree
A realtively smaller tree can avoid overfitting via lower variance. Providing better interpretation at the cost of little bias
One could say that we split only if reduction in RSS is larger than some value. But this can be short sighted
So what to do
Grow the full Tree.
Prune it back to a smaller subtree
But which is the best subtree
Well, intuitively, one that leads to the lowest test error rate
Finding the best subtree
We can use cross-validation to estimate test error rate
But there can be so many subtrees
So, we can select some small number of trees using cost complexity pruning or weakest link pruning
Cost Complexity Pruning
\(\sum_{m=1}^{|T|}{\sum_{i:x_i \in R_m}{(y_i - \hat{y}_{R_m})^2}} + \alpha |T|\)
The Combined Algorithm
- Use Recursive binary splitting to grow a large tree.
- Apply cost complexity pruning to get a sequence of best subtrees, as a function of \(\alpha\)
- Use K-fold CV to choose \(\alpha\).
- Repeat steps 1 and 2 on all but the Kth fold of training data
- Evaluate the mse on the left-out Kth fold, as a fucntion of \(\alpha\). Average results of each value of \(\alpha\), choose ove that minimizes average error.
- Return the subtree from step 2 that corresponds with the value of chosen \(\alpha\)
Step 1 - Grow the full tree
Step 2 - Apply Cost Complexity Pruning
$size
[1] 11 10 9 8 6 5 4 3 2 1
$dev
[1] 8315423 8703822 9215554 9858641 11662305 12847681 14633829 16914212
[9] 22272517 36484875
$k
[1] -Inf 388399.2 511731.1 643087.6 901832.0 1185375.6
[7] 1786148.6 2280382.4 5358304.9 14212358.7
$method
[1] "deviance"
attr(,"class")
[1] "prune" "tree.sequence"Step 3 - Apply CV to choose \(\alpha\)
$size
[1] 11 10 9 8 6 5 4 3 2 1
$dev
[1] 22996997 23170872 22948306 23396461 23089788 22880520 22768324 21838163
[9] 26519143 36994666
$k
[1] -Inf 388399.2 511731.1 643087.6 901832.0 1185375.6
[7] 1786148.6 2280382.4 5358304.9 14212358.7
$method
[1] "deviance"
attr(,"class")
[1] "prune" "tree.sequence"Step 3 - Apply CV to choose \(\alpha\)
Step 3 - Apply CV to choose \(\alpha\)
Step 4 - get the subtree from the large tree
Lets predict using the model
-Andres Galarraga -Alfredo Griffin -Billy Beane -Bruce Bochy
226.4208 633.0244 226.4208 226.4208
-Bobby Bonilla -Bob Brenly -Brett Butler -Bob Dernier
226.4208 1101.2619 1101.2619 633.0244
-Bill Madlock -Bob Melvin -Billy Sample -Chris Bando
633.0244 226.4208 633.0244 226.4208
-Candy Maldonado -Carmelo Martinez -Chris Speier -Curt Wilkerson
226.4208 226.4208 633.0244 226.4208
-Doug Baker -Dave Collins -Donnie Hill -Don Mattingly
226.4208 633.0244 226.4208 633.0244
-Darryl Motley -Darryl Strawberry -Danny Tartabull -Dave Winfield
226.4208 1101.2619 226.4208 1101.2619
-Enos Cabell -Eddie Milner -Floyd Rayford -Frank White
633.0244 633.0244 226.4208 633.0244
-George Bell -Glenn Braggs -Gary Carter -George Hendrick
633.0244 226.4208 1101.2619 633.0244
-Garth Iorg -Harold Reynolds -Jesse Barfield -John Cangelosi
633.0244 226.4208 1101.2619 226.4208
-Jose Canseco -Julio Cruz -Julio Franco -Jerry Hairston
226.4208 633.0244 633.0244 226.4208
-Jim Presley -Jeff Reed -Joel Youngblood -Kurt Stillwell
226.4208 226.4208 633.0244 226.4208
-Larry Herndon -Lee Lacy -Len Matuszek -Lance Parrish
633.0244 633.0244 226.4208 633.0244
-Luis Rivera -Larry Sheets -Marty Barrett -Mike Brown
226.4208 226.4208 1101.2619 226.4208
-Mike Diaz -Mel Hall -Mike Kingery -Mike Marshall
226.4208 226.4208 226.4208 633.0244
-Mike Pagliarulo -Mike Schmidt -Milt Thompson -Ozzie Guillen
226.4208 226.4208 226.4208 226.4208
-Pat Sheridan -Rick Cerone -Rob Deer -Ron Kittle
226.4208 633.0244 226.4208 226.4208
-Rance Mulliniks -Rey Quinones -Ron Roenicke -Rick Schu
633.0244 226.4208 226.4208 226.4208
-Robby Thompson -Reggie Williams -Scott Bradley -Shawon Dunston
226.4208 226.4208 226.4208 226.4208
-Steve Garvey -Tony Bernazard -Tony Gwynn -Tom Paciorek
633.0244 633.0244 633.0244 633.0244
-Tony Pena -Terry Pendleton -Tony Perez -Will Clark
633.0244 226.4208 633.0244 226.4208
-Wayne Krenchicki
226.4208 Do it yourself
For the Boston data set from {ISLR2}, run a decision tree model that estimates the median value of owner-occupied homes in $1000. Complete the full algorith steps of growing a larger tree and choosing an alpha for the best possible subtree.
Classification Trees
Response is qualitative
For making predictions, instead of using the mean of the training observations in a region, the most commonly occuring class of training observations in a region is used.
Classification trees are grown in a similar fashion to regression trees But, instead of RSS we use the classification error rate
Classification Error Rate (E): The fraction of training observations in a region that do not belong to the most common class.
Classification Error Rate
\[E = 1- max(\hat{p}_{mk}) \]
Here \(\hat{p}_{mk}\) is the proportion of training observations in the mth region of class k.
But, this is not sufficiently sensitive for tree growing, so we use other measures in practice.
Classification Error Rate - Issues
flowchart
A[A50,B50] --> B[A10,B40]
A[A50,B50] --> C[A40,B10]
flowchart
A[A50,B50] --> B[A50,B20]
A[A50,B50] --> C[A0,B30]
Classification Error Rate - Issues
Does not favour “pure” nodes
Only cares about the most common class, ignores by how much
May result in premature stop in tree growing
Insensitive to minor changes in patterns
Alternative - Gini
\(G = \sum_{k=1}^{K}{\hat{p}_{mk}(1-\hat{p}_{mk})}\)
The Value of G will be small when node purity is high.
Alternative - Entropy
\(D = - \sum_{k=1}^{K}{\hat{p}_{mk}log\hat{p}_{mk}}\)
The value of D will be near zero for \(\hat{p}_{mk}\) near zero or one
Classification Error Rate - Issues
tibble::tibble(
prop_a = seq(0,1,by = 0.001),
prop_b = 1- prop_a,
max = ifelse(prop_a>=prop_b, prop_a, prop_b),
E = 1 - max,
G = 2*(prop_a*prop_b),
En = -1*((prop_a*log(prop_a))+(prop_b*log(prop_b)))
) |>
ggplot2::ggplot(ggplot2::aes(prop_a,E))+
ggplot2::geom_line() +
ggplot2::geom_line(ggplot2::aes(y = G), colour = "green") +
ggplot2::geom_line(ggplot2::aes(y = En), colour = "steelblue") +
ggplot2::theme_minimal() +
ggplot2::labs(
x = "probablity of Class A at a given node",
y = "Y",
title = "Comparing Classificaiton Error Rate, Gini and Entropy",
subtitle = "Toy example with two classes: A and B"
)Classification Error Rate - Issues
A comment on E, G and D
Best to use G or D for splitting
For pruning and gauging overall accuracy E is preferable if prediction accuracy is the goal.
The {tree} takes care of all this by default
code refrence
Do it yourself
This link has the Heart data for paitents with chest pains. The variable AHD is a binary variable where Yes refers to existing heart disease. Create a decision tree model, a full grown tree, to understand factors for predicting AHD. Also, prune this tree by choosing the appropriate \(\alpha\). Write an interpretation note for your model.
Does your final and full grown trees have some splits that estimate the same response for terminal nodes? Why does that happen?
Decision Trees
- Easy to interpret
- Can handle qualitative as well as quantitative response
- Not as great for prediction accuracy as some other regression or classification approaches.
- Small changes in training data can lead to large chanages in the final estimated tree.
Aggregating many trees can imporve performance (prediction)
Ensemble Mehtods: Bagging, random forests, boosting, and Bayesian additive regression trees.
Ensemble Methods
Combine many simple models to get one powerful model
These simple models are sometimes known as weak learners
Bagging
Remember Bootstrap?
Can be used to estimate the SD of the quantity of interest where it is hard or impossible to directly compute it.
Can be also used to imporve statistical learning models like decision trees
Bagging - before we get into it
“Averaging a set of observations reduces variance”
Bagging - before we get into it
Imagine a natural process that generates \(n\) observation \(Z_1, Z_2, ...,Z_n\) with Variance \(\sigma^2\). Stats says that the variance of \(\bar{Z}\) is \(\frac{\sigma^2}{n}\)
[1] -8.1360861 -4.1391838 10.2449012 -11.3087422 20.8666062 0.4471373
[7] -3.9211056 9.4314274 -3.7776722 15.3119345 -13.7413027 2.8374375
[13] 4.5242641 1.6853593 31.6339853 18.3211858 0.8447623 4.3790233
[19] -7.0520856 20.5189606 -15.0999019 2.0845359 -1.7718203 14.1652564
[25] 3.4638982 11.9859692 17.9148233 8.6347894 -6.1741353 3.7894257
[31] 10.0947444 -13.9006288 5.5033750 -24.1739753 5.7505045 2.7501970
[37] 15.9996548 3.9403011 -5.6197091 8.7986218 2.2780200 -7.4100327
[43] 18.4976936 -8.6490931 6.2743414 -11.7791600 -17.4996825 3.1568829
[49] 2.6512777 19.0479422 -20.5441292 13.5861305 6.4453418 9.5961700
[55] 19.4935179 -11.2905350 14.0204028 3.6480383 -6.6890601 -1.8238145
[61] -6.9898029 6.3329664 -15.0546166 2.5597589 0.7187514 21.9757056
[67] 7.4627163 10.8819883 20.3690047 6.1189416 4.7142081 13.2569965
[73] 26.7099814 4.2181417 10.0992709 1.9650511 11.3410040 7.4235442
[79] 11.6950879 14.3422891 20.5732724 24.6022092 -0.2352916 -6.4954831
[85] 18.8712865 -13.8541651 30.4268314 -6.8789036 9.1495597 -5.9847670
[91] 11.7743394 10.1918240 21.2279810 1.2142288 8.9618899 0.9281606
[97] 11.2491975 3.3487586 20.8326771 0.1807221[1] 131.4922Bagging - before we get into it
I estimate the variance of mean, it should be (\(\frac{\sigma^2}{n}\))
Bagging - before we get into it
I estimate the distribution of variance of mean, it should be centered around (\(\frac{\sigma^2}{n}\))
Bagging - before we get into it
Bagging - before we get into it
> So, averaging stuff reduces the variance, we can be sure. Natuarally, we can reduce the variance of a statistical learning methods by averaging.
Bagging
So, take multiple training sets
Grow a full tree for each training sets
Average the resulting predictions
\(\hat{f}_{avg} = \frac{1}{B}\sum_{b=1}^{B}{\hat{f}^b}\)
But I dont ahve so much training data
Bagging
So, Bootstrap. Bootstrap + Aggregating = Bagging
\(\hat{f}_{bag} = \frac{1}{B}\sum_{b=1}^{B}{\hat{f}^{*b}}\)
Bagging
These trees are grown deep
Not Pruned
So each individual tree has high variance and low bias.
Averaging the trees reduces the variance
In classification setting we use majority vote instead of average
Bagging - How well it performs?
I want to compare the Bagging test error rate with the unpruned single tree test error rate and pruned single tree test error rate.
Bagging - How well it performs?
I will use the orange juice data set to work this example
Rows: 1,070
Columns: 18
$ Purchase <fct> CH, CH, CH, MM, CH, CH, CH, CH, CH, CH, CH, CH, CH, CH,…
$ WeekofPurchase <dbl> 237, 239, 245, 227, 228, 230, 232, 234, 235, 238, 240, …
$ StoreID <dbl> 1, 1, 1, 1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 1, 2, 2…
$ PriceCH <dbl> 1.75, 1.75, 1.86, 1.69, 1.69, 1.69, 1.69, 1.75, 1.75, 1…
$ PriceMM <dbl> 1.99, 1.99, 2.09, 1.69, 1.69, 1.99, 1.99, 1.99, 1.99, 1…
$ DiscCH <dbl> 0.00, 0.00, 0.17, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0…
$ DiscMM <dbl> 0.00, 0.30, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.40, 0.40, 0.40, 0…
$ SpecialCH <dbl> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
$ SpecialMM <dbl> 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0…
$ LoyalCH <dbl> 0.500000, 0.600000, 0.680000, 0.400000, 0.956535, 0.965…
$ SalePriceMM <dbl> 1.99, 1.69, 2.09, 1.69, 1.69, 1.99, 1.59, 1.59, 1.59, 1…
$ SalePriceCH <dbl> 1.75, 1.75, 1.69, 1.69, 1.69, 1.69, 1.69, 1.75, 1.75, 1…
$ PriceDiff <dbl> 0.24, -0.06, 0.40, 0.00, 0.00, 0.30, -0.10, -0.16, -0.1…
$ Store7 <fct> No, No, No, No, Yes, Yes, Yes, Yes, Yes, Yes, Yes, Yes,…
$ PctDiscMM <dbl> 0.000000, 0.150754, 0.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000…
$ PctDiscCH <dbl> 0.000000, 0.000000, 0.091398, 0.000000, 0.000000, 0.000…
$ ListPriceDiff <dbl> 0.24, 0.24, 0.23, 0.00, 0.00, 0.30, 0.30, 0.24, 0.24, 0…
$ STORE <dbl> 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2…Bagging - How well it performs?
Steps
- Split data in training and test.
- On the training data grow a decision tree for classification. (Mod1)
- Find the error rate of Mod1 on test data.
- Prune the Mod1 by finding \(\alpha\) through CV. Call this model Mod2.
- Find error rate of Mod2 on test data.
- Split the training data in 300 bootstrap samples. Grow a tree for each of the 300 samples.
- Using all 300 trees predict error rate for test data. (Bagging test error rate)
- Do point 7 sequentially to show how Bagging test error rate changes with number of bootstrap samples.(E by using Bootstrap sample 1 only, then with 1 and 2, then 1 to 3, till 1 to 300)
Bagging - How well it performs?
Step1: Split data in training and test.
Bagging - How well it performs?
Step2: On the training data grow a decision tree for classification. (Mod1)
Bagging - How well it performs?
Step3: Find the error rate of Mod1 on test data.
Bagging - How well it performs?
Step4: Prune the Mod1 by finding \(\alpha\) through CV. Call this model Mod2.
# A tibble: 5 × 2
size mean_e
<int> <dbl>
1 1 380.
2 2 203.
3 4 187.
4 7 179.
5 9 179.Bagging - How well it performs?
Step5: Find error rate of Mod2 on test data
Bagging - How well it performs?
Step6&7: Split the training data in 300 bootstrap samples. Grow a tree for each of the 300 samples. Using all 300 trees predict error rate for test data. (Bagging test error rate)
Code
rsample::bootstraps(oj_train,times = 300) -> oj_train_boot
get_dist_error_test_set <- function(i){
tree(Purchase ~ ., data = rsample::get_rsplit(oj_train_boot,index = i) |>
as.data.frame()
) -> tree_oj
tibble(
"b_{i}" := predict(tree_oj, oj_test, "class")
)
}
map(
c(1:300),
get_dist_error_test_set
) |>
list_cbind() -> boot_predicts
boot_predicts |>
as.matrix() |>
t() |>
as.data.frame() -> boot_predicts
boot_predicts V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16 V17 V18 V19 V20
b_1 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_2 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_3 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_4 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_5 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_6 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_7 CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_8 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_9 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_10 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_11 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_12 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_13 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_14 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_15 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_16 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_17 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_18 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_19 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_20 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_21 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_22 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_23 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_24 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_25 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_26 CH CH CH CH MM CH CH CH MM CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_27 CH CH CH CH MM CH CH CH MM CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_28 CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_29 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_30 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_31 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_32 CH CH CH CH MM CH CH CH MM CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_33 CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_34 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_35 CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_36 CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_37 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_38 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_39 CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_40 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_41 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_42 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_43 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_44 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_45 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_46 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_47 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_48 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_49 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_50 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_51 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_52 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_53 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_54 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_55 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_56 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_57 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_58 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_59 CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_60 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_61 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_62 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_63 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_64 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_65 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_66 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_67 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_68 CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_69 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_70 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_71 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_72 CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_73 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_74 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_75 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_76 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_77 CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_78 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_79 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_80 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_81 CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_82 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_83 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_84 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_85 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_86 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_87 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_88 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_89 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_90 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_91 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_92 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_93 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_94 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_95 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_96 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_97 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_98 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_99 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_100 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_101 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_102 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_103 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_104 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
b_105 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_106 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
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b_109 CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_110 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_111 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_112 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_113 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_114 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_115 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_116 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_117 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
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b_124 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
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b_135 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
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b_138 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
b_139 CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH CH CH CH
b_140 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH
b_141 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
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b_160 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH CH
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b_185 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
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b_195 CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH CH CH CH
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V93 V94 V95 V96 V97 V98 V99 V100 V101 V102 V103 V104 V105 V106 V107
b_1 CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
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b_142 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
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b_152 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM MM CH
b_153 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_154 CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_155 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM MM CH
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b_193 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH CH CH MM CH CH
b_194 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_195 CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_196 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
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b_198 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
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b_251 CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_252 CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_253 CH CH MM CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM MM CH
b_254 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_255 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_256 CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_257 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_258 CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_259 CH CH MM CH CH CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_260 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_261 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM MM CH
b_262 CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_263 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM MM CH
b_264 CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH MM CH CH CH CH
b_265 CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_266 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_267 CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_268 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_269 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
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b_273 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
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b_278 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM MM CH
b_279 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_280 CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
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b_282 CH CH MM CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
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b_284 CH CH CH CH CH CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_285 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_286 CH CH MM CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_287 CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH MM CH CH CH CH
b_288 CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH MM CH CH CH CH
b_289 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_290 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_291 CH CH MM CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_292 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM CH CH
b_293 CH CH MM CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM MM CH
b_294 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_295 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_296 CH CH MM CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_297 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_298 CH CH CH CH CH CH MM MM CH CH MM CH MM CH CH
b_299 CH CH CH CH MM CH MM MM CH CH CH CH MM CH CH
b_300 CH CH CH CH MM CH MM CH CH CH MM CH MM CH CHBagging - How well it performs?
Step8: Do point 7 sequentially to show how Bagging test error rate changes with number of bootstrap samples.(E by using Bootstrap sample 1 only, then with 1 and 2, then 1 to 3, till 1 to 300)
across_boots_acc <- function(i) {
boot_predicts[c(1:i),] |>
summarise(across(everything(),~ attr(sort(table(.x),decreasing = T)[1],"name"))) |>
t() |>
as.vector() -> boot_predicts
sum(boot_predicts == oj_test$Purchase, na.rm = T)/107
}
tibble(
num_boots = c(1:300),
bagg_test_error = 1-(map_dbl(
c(1:300),
across_boots_acc))
) |>
ggplot(aes(x = num_boots, y = bagg_test_error)) +
geom_line(colour = "steelblue")+
geom_hline(aes(yintercept = Mod1_test_error),
linetype = 2, colour = "red")+
annotate(geom = "text",
label = "Unpruned single tree Test error rate",
x = 275, y = Mod1_test_error, colour = "red")+
geom_hline(aes(yintercept = Mod2_test_error),
linetype = 2, colour = "red")+
annotate(geom = "text",
label = "pruned single tree Test error rate",
x = 275, y = Mod2_test_error, colour = "red")+
labs(
title = "Comparing test error rate estimates",
x = "Number of bootstrap samples",
y = "Error",
subtitle = "Plot shows: <span style='color:steelblue;'>Bagging test error rate.</span>"
)+
theme_minimal() +
theme(
plot.title.position = "plot",
plot.subtitle = element_markdown()
)Bagging - How well it performs?
Bagging
Why are we wasting samples to get an estimate of test error rate? There is a way Out-of-Bag Error Estimation.
Bagging - Out-of-Bag Error Estimation
- On an average each bagged tree uses only 2/3 rd of the observations.
- This would mean that there are 1/3 rd observations which are not used to fit a given bagged tree. These are called “Out-of-Bag” or OOB.
- A given ith OOB observation can be predicted using B/3 trees. (By average or mode)
- This can be achieved for all OOB observations.
- These predictions for OOB can be compared against true values to obtain OOB MSE.
- OOB MSE is a valid estimate of test error for the bagged model.
Bagging error rate estimates
randomForest::randomForest(Purchase ~. , OJ,mtry = 17) -> bag_oj
tibble(
num_boots = c(1:300),
bagg_test_error = 1-(map_dbl(
c(1:300),
across_boots_acc)),
oob_mse = bag_oj$err.rate[c(1:300),"OOB"]
) |>
ggplot(aes(x = num_boots, y = bagg_test_error)) +
geom_line(colour = "steelblue")+
geom_line(aes(y = oob_mse),
colour = "green") +
geom_hline(aes(yintercept = Mod1_test_error),
linetype = 2, colour = "red")+
annotate(geom = "text",
label = "Unpruned single tree Test error rate",
x = 275, y = Mod1_test_error, colour = "red")+
geom_hline(aes(yintercept = Mod2_test_error),
linetype = 2, colour = "red")+
annotate(geom = "text",
label = "pruned single tree Test error rate",
x = 275, y = Mod2_test_error, colour = "red")+
labs(
title = "Comparing test error rate estimates",
x = "Number of bootstrap samples",
y = "Error",
subtitle = "Plot shows: <span style='color:steelblue;'>Bagging test error rate.</span>, <span style='color:green;'>OOB MSE - Bootstrap</span>"
)+
theme_minimal() +
theme(
plot.title.position = "plot",
plot.subtitle = element_markdown()
)Bagging error rate estimates
Bootstrap and interpretation
While prediction improves, there is some loss of interpretability. To address is as best as one can, we use Variance Improtance Measures.
Bootstrap - VIM
| MeanDecreaseGini | |
|---|---|
| WeekofPurchase | 50.6880866 |
| StoreID | 14.2745194 |
| PriceCH | 5.6401013 |
| PriceMM | 5.4588747 |
| DiscCH | 2.5397152 |
| DiscMM | 2.8236487 |
| SpecialCH | 7.6629707 |
| SpecialMM | 2.9617345 |
| LoyalCH | 305.3815921 |
| SalePriceMM | 13.6102313 |
| SalePriceCH | 6.7420401 |
| PriceDiff | 41.9907270 |
| Store7 | 0.2618477 |
| PctDiscMM | 3.4179647 |
| PctDiscCH | 3.4098449 |
| ListPriceDiff | 19.8971657 |
| STORE | 13.2372115 |
Bootstrap - VIM
Random Forest
In bagging, though the training observations changes, most trees will look more or less alike. Especially of one of the predictors can very strongly predict the response, with other predictors that moderately precidt the response.
This makes us question independence of the bootstrap predictions
And, if independence is not observed, averaging does not reduce the variance. Consequently, the bagging may not result in substantial reduction in the variance of the method.
So we decorelate the trees by forcing to use only \(m\) of the \(p\) predictor at every given split of every tree. usually \(m = \sqrt{p}\)
Random Forest OOB MSE
Application: Bootstraping
Call:
randomForest(formula = Purchase ~ ., data = OJ, mtry = 17)
Type of random forest: classification
Number of trees: 500
No. of variables tried at each split: 17
OOB estimate of error rate: 20.19%
Confusion matrix:
CH MM class.error
CH 541 112 0.1715161
MM 104 313 0.2494005Application: Random Forest
Call:
randomForest(formula = Purchase ~ ., data = OJ, mtry = 4)
Type of random forest: classification
Number of trees: 500
No. of variables tried at each split: 4
OOB estimate of error rate: 19.35%
Confusion matrix:
CH MM class.error
CH 563 90 0.1378254
MM 117 300 0.2805755Do it yourself
- Goal: Use
cellsfrom {modeldata} to predict theclassvariable. - Drop the
casevariable before doing any modeling. - Find the test set error rate of single unpruned tree.
- Find the test set error rate for a single pruned tree with cost complexity pruning.
- Find OOB MSE of the bagging model.
- Find OOB MSE of the random forest model.
- explore model objects in points 5 and 6.
- Make chart comparing test error rate estimation from points 3,4,5,and 6.
Boosting
Does not involve bootstraping
Instead, trees are grown sequentially. Each tree is grown from information from the previous tree.
So, boosting trees are not independent of each other
Learning slowly avoids overfitting
Boosting Algorithm
from ISLR
Boosting - params
B Number of trees: Not bootstrap samples. Number of trees grown sequentially. Error rate does not stabilise with Large B like bagging and boosting. A large B for boosting can overfit. So, CV is used to select B for boosting.
Shrinkage Parameter \(\lambda\): Small positive number. Controls the rate at which boosting learns. Very small \(\lambda\) can need a very large number of B to get good performance. Usual values are 0.01 or 0.001
Depth \(d\): Controls the complexity of the boosted ensemble. Ususal d values are 1,4,6,8 depending on data. Also controls the possibility for interaction. Also referred to interaction depth
Applying Boosting
gbm(formula = medv ~ ., distribution = "gaussian", data = Boston_train,
n.trees = 5000, interaction.depth = 4)
A gradient boosted model with gaussian loss function.
5000 iterations were performed.
There were 12 predictors of which 12 had non-zero influence.Applying Boosting
var rel.inf
rm rm 39.5004210
lstat lstat 31.6813062
crim crim 7.4402849
dis dis 5.8450487
nox nox 5.3256192
ptratio ptratio 3.4673820
age age 3.3567731
tax tax 1.4056926
chas chas 0.6330857
indus indus 0.6156968
rad rad 0.5248097
zn zn 0.2038801
Applying Boosting
Partial dependence plots
Applying Boosting
Applying Boosting
Applying Boosting
[1] 168
Boosting vs RF
randomForest(medv ~. , Boston, mtry = 3, ntree = 5000) -> rf_bosotn
tibble(
i = c(1:5000),
boost_mse = boost.bostom$cv.error,
rf_mse = rf_bosotn$mse
) |>
ggplot(aes(i,boost_mse))+
geom_line()+
geom_line(aes(y = rf_mse), colour = "red") +
labs(
x = "Number of trees",
y = "MSE"
)+
ylim(8,15)+
theme_minimal()Boosting vs RF
Do it yourself
Use the ischemic_stroke data from modeldata library. Predict stroke. Compare Boosting with randomforest. What are the optimal number of boosting trees? Which model performs better? Which are the important variables.
Bayesian Additive Regression Trees (BART)
BART is related to both approaches. Growing trees randomly as well as growing tres where each tree tries to capture the signal not yet accounted by the current model.
Bayesian Additive Regression Trees (BART)
We grow a total of \(K\) trees over \(B\) iterations
Such that, \(\hat{f}_k^b(x)\) represents the prediction at \(x\) by the kth tree of the bth iteration
All trees of a given iteration are summmed to get:
\(\hat{f}^b = \sum_{k=1}^{K}{\hat{f}_k^b(x)}\)
Bayesian Additive Regression Trees (BART)
For the first iteration, we set the trees in a manner such that sum of the trees in the first iteration comes out to the mean of the response.
\(\hat{f}^1 = \sum_{k=1}^{K}{\hat{f}_{k}^1}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{y_i}\)
All trees of the first iteration are initialised to have a single root node, described by:
\(\hat{f}_{k}^{1} = \frac{1}{nK}\sum_{i=1}^{n}{y_i}\)
Bayesian Additive Regression Trees (BART)
For subsequent iterations, Each K trees are updated one at a time.
Instead of fitting a fresh tree, BART randomly chooses a perturbation (disturbance) to the tree from the previous iteration \(\hat{f}_{k}^{b-1}\)
This perturbation could be either (A) increasing or pruning the branches or (B) change the prediction of each terminal node of the tree
The trees are fit on partial residuals, described as
\(r_i = y_i - \sum_{k^{\prime} < k}{\hat{f}_{k^{\prime}}^{b}(x_i)} - \sum_{k^{\prime} > k}{\hat{f}_{k^{\prime}}^{b-1}(x_i)}\)
Bayesian Additive Regression Trees (BART)
The output of BART is a collection of prediction models
\(\hat{f}^{b} = \sum_{k=1}^{K}{\hat{f}_{k}^{b}(x)}\) for \(b = 1,2,3,4....., B\)
Bayesian Additive Regression Trees (BART)
The first few of these prediction models are thrown out, denoted by \(L\), the burn-in period
To obtain single prediciton
\(\hat{f}(x)=\frac{1}{B-L}\sum_{b = L+1}^{B}{\hat{f}^{b}(x)}\)
[Instead of averages, percentils can also be used to measure uncertainity.]
Bayesian Additive Regression Trees (BART)
from ISLR
Bayesian Additive Regression Trees (BART)
Parameters to select
\(K\), The number of trees
\(B\), the number of iterations
\(L\), the burn-in iterations
Applying BART
*****Calling gbart: type=1
*****Data:
data:n,p,np: 354, 12, 152
y1,yn: -7.918927, -5.918927
x1,x[n*p]: 4.752370, 12.640000
xp1,xp[np*p]: 0.027310, 6.480000
*****Number of Trees: 200
*****Number of Cut Points: 100 ... 100
*****burn,nd,thin: 100,1000,1
*****Prior:beta,alpha,tau,nu,lambda,offset: 2,0.95,0.795495,3,3.66164,22.0189
*****sigma: 4.335639
*****w (weights): 1.000000 ... 1.000000
*****Dirichlet:sparse,theta,omega,a,b,rho,augment: 0,0,1,0.5,1,12,0
*****printevery: 100
MCMC
done 0 (out of 1100)
done 100 (out of 1100)
done 200 (out of 1100)
done 300 (out of 1100)
done 400 (out of 1100)
done 500 (out of 1100)
done 600 (out of 1100)
done 700 (out of 1100)
done 800 (out of 1100)
done 900 (out of 1100)
done 1000 (out of 1100)
time: 6s
trcnt,tecnt: 1000,1000[1] 18.29006Applying BART
A sort of variable importance, occurence of each predictor in collection of trees
crim zn dis age indus ptratio tax rad rm chas
11.257 16.339 17.057 17.111 18.160 19.990 21.520 21.885 22.399 22.464
lstat nox
23.541 23.805 Applying BART
ntree to control for \(K\)
nskip to control for \(L\)
ndpost to control for \(B-L\)
Email: ayush.ap58@gmail.com